Bjarnason begon zijn profcarrière in Noorwegen bij Viking (2006-2011), waar Standard hem in januari 2012 weghaalde. De IJslander kwam tot 20 duels bij de Rouches, maar mocht een half jaar later toch opnieuw beschikken. Na drie seizoenen in Italië, twee seizoenen bij Pescara (2012-2013 en 2014-2015) en eentje bij Sampdoria (2013-2014), was de middenvelder het afgelopen anderhalf seizoen actief bij het Zwitserse FC Bazel. Daar plukt Aston Villa hem nu weg.

Bjarnason, een 56-voudig international, schitterde vorige zomer met IJsland nog op het EK in Frankrijk. De debutanten schopten het verrassend tot de kwartfinales en Bjarnason speelde in elke wedstrijd de volle negentig minuten.

Aston Villa degradeerde vorig seizoen uit de Premier League en bezet momenteel een teleurstellende dertiende plaats in de Championship. Met Ritchie De Laet telt het team één Belg in de rangen. De Laet liep in september echter een ernstige knieblessure op en zal de komende maanden nog niet op het terrein te zien zijn.